แคลคูลัสวิศวกรรมศาสตร์ 3 : 206261(แคลคูลัสเวกเตอร์)

แคลคูลัสเวกเตอร์ (Vector Calculus)

แคลคูลัสเวกเตอร์ เป็นแขนงหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ศึกษา ฟังก์ชันเวกเตอร์, ฟิลด์สเกลาร์ (Scalar Field) และ ฟิลด์เวกเตอร์ (Vector Field) รวมถึงการอินทิกรัลและอนุพันธ์ในปริภูมิ 2 มิติ และ 3 มิติ ซึ่งเป็นเครื่องมือสำคัญใน วิศวกรรมศาสตร์ ฟิสิกส์ และคณิตศาสตร์ประยุกต์

1. ฟิลด์สเกลาร์และฟิลด์เวกเตอร์

1. ฟิลด์สเกลาร์ คือฟังก์ชันที่ให้ค่าจำนวนจริงที่ขึ้นอยู่กับตัวแปรเวกเตอร์ เช่น

$\displaystyle f(x,y,z) : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ ตัวอย่าง: อุณหภูมิ $\displaystyle T(x,y,z)$ ในอวกาศ

1. ฟิลด์เวกเตอร์ คือฟังก์ชันที่ให้ค่าเป็นเวกเตอร์ เช่น

$\displaystyle \vec{F}(x,y,z) : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ ตัวอย่าง : สนามแรงโน้มถ่วง $\displaystyle \vec{g}(x,y,z)$ , สนามไฟฟ้า $\displaystyle \vec{E}(x,y,z)$

2. การดำเนินการเชิงเวกเตอร์พื้นฐาน

(1) Gradient (เกรเดียนต์)

ใช้กับ ฟิลด์สเกลาร์ เพื่อหาทิศทางที่ฟังก์ชันเพิ่มเร็วที่สุด

$\displaystyle \nabla f(x,y,z) = \left( \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}, \, \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}, \, \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z} \right)$

(2) Divergence (ดิฟเวอร์เจนซ์)

ใช้กับ ฟิลด์เวกเตอร์ วัดการกระจายตัวออก (source) หรือการรวมตัวเข้า (sink)

$\displaystyle \nabla \cdot \vec{F} = \displaystyle \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}$

(3) Curl (เคอร์ล)

ใช้กับ ฟิลด์เวกเตอร์ เพื่อวัดการหมุน (rotation) ของสนาม

$\displaystyle \nabla \times \vec{F} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \displaystyle \frac{\partial}{\partial x} & \displaystyle \frac{\partial}{\partial y} & \displaystyle \frac{\partial}{\partial z} \\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}$

3. อินทิกรัลในแคลคูลัสเวกเตอร์

1. เส้นอินทิกรัล (Line Integral):

$\displaystyle \int_C \vec{F} \cdot d\vec{r}$

ใช้หางาน (Work) จากแรงตามเส้นโค้ง $\displaystyle C$

1. อินทิกรัลบนผิว (Surface Integral):

$\displaystyle \iint_S \vec{F} \cdot d\vec{S}$

ใช้หาการไหล (Flux) ของสนามผ่านผิว $\displaystyle S$

1. ปริมาตรอินทิกรัล (Volume Integral):

$\displaystyle \iiint_V f(x,y,z) \, dV$

ใช้หาปริมาตรหรือค่าฟังก์ชันรวมในบริเวณ $\displaystyle V$

4. ทฤษฎีบทสำคัญในแคลคูลัสเวกเตอร์

1.ทฤษฎีบทของ Green (Green’s Theorem):

เชื่อมเส้นอินทิกรัลรอบขอบเขตปิดกับอินทิกรัลบนพื้นที่ภายใน

$\displaystyle \oint_C \vec{F} \cdot d\vec{r} = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dA$

2.ทฤษฎีบทของ Stokes (Stokes’ Theorem):

เชื่อมเส้นอินทิกรัลรอบขอบเขตปิดของผิวกับ Curl ของสนาม

$\displaystyle \oint_{\partial S} \vec{F} \cdot d\vec{r} = \iint_S (\nabla \times \vec{F}) \cdot d\vec{S}$

3.ทฤษฎีบทของ Gauss หรือ Divergence Theorem:

เชื่อมอินทิกรัลบนผิวกับปริมาตรอินทิกรัล

$\displaystyle \iint_S \vec{F} \cdot d\vec{S} = \iiint_V (\nabla \cdot \vec{F}) \, dV$

✅ เนื้อหานี้ครอบคลุมทั้ง พื้นฐาน, สมการ, และทฤษฎีบทสำคัญ ของแคลคูลัสเวกเตอร์ เหมาะกับการสอนในวิชา Calculus III (206261) และการประยุกต์ในวิศวกรรม