แคลคูลัส 2 : 206112(กลางภาค+ปลายภาค)

🧮 แคลคูลัส 2 (Calculus II) — รหัส 206112

มหาวิทยาลัยเชียงใหม่ | CMU Calculus II | คอร์สออนไลน์แคลคูลัสสำหรับวิศวกรรมศาสตร์

🎓 คำอธิบายรายวิชา

รายวิชา แคลคูลัส 2 (Calculus II – 206112) เป็นการต่อยอดจากแคลคูลัส 1 มุ่งเน้นการขยายแนวคิดของ อนุพันธ์และอินทิกรัล ไปสู่การแก้ปัญหาที่ซับซ้อนมากขึ้น เช่น

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสอง, ฟังก์ชันหลายตัวแปร, อินทิกรัลสองชั้น–สามชั้น และอนุกรมอนันต์

นักศึกษาจะได้ฝึกมองภาพเชิงเรขาคณิตสามมิติ ฝึกตั้งอินทิกรัลในพิกัดต่าง ๆ และเรียนรู้การใช้อนุพันธ์ย่อยเพื่อหาค่าที่เหมาะสมที่สุด (Optimization) รวมถึงเข้าใจแนวคิดของ อนุกรมเทย์เลอร์ (Taylor Series) ซึ่งเป็นรากฐานของการประมาณค่าฟังก์ชันและการคำนวณเชิงตัวเลขในงานวิศวกรรม

🧩 โครงสร้างเนื้อหารายวิชา

📘 บทที่ 1 การแก้สมการอนุพันธ์อันดับสองด้วยวิธีเทียบสัมประสิทธิ์ (Second-Order Differential Equations by Coefficient Comparison)

1. รูปแบบสมการอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสอง

$\displaystyle a\frac{d^2y}{dx^2} + b\frac{dy}{dx} + cy = f(x)$

1. การหาคำตอบเฉพาะ (Particular Solution) ด้วย วิธีเทียบสัมประสิทธิ์ (Undetermined Coefficients)
2. การรวมคำตอบเนื้อเดียวกับคำตอบเฉพาะเป็นคำตอบทั่วไป
3. การประยุกต์ในระบบการสั่น (Harmonic Motion) และวงจร RLC

🌐 บทที่ 2 ฟังก์ชันหลายตัวแปร (Functions of Several Variables)

🔹 โดเมนและเส้นโค้งระดับ (Domain and Level Curves)

1. การนิยามโดเมนของฟังก์ชันสองตัวแปร
2. การวาดเส้นโค้งระดับและพื้นผิวระดับเพื่อวิเคราะห์ค่าฟังก์ชัน

🔹 การวาดกราฟ 3 มิติ (3D Graphing)

1. การแสดงกราฟของฟังก์ชัน $\displaystyle z=f(x,y)$
2. การใช้ระนาบตัดช่วยทำความเข้าใจรูปร่างของพื้นผิว

🔹 ลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชันหลายตัวแปร

1. การหาลิมิตจากหลายทิศทาง
2. เงื่อนไขการต่อเนื่องในหลายตัวแปร

🔹 อนุพันธ์ย่อย (Partial Derivatives)

1. นิยามและสัญลักษณ์

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}, \quad \frac{\partial z}{\partial y}$

1. การหาค่าการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันในทิศต่าง ๆ

🔹 อนุพันธ์ฟังก์ชันแฝง (Implicit Differentiation)

1. การหาค่าอนุพันธ์เมื่อฟังก์ชันไม่สามารถเขียนในรูปชัดเจน

🔹 การประยุกต์อนุพันธ์ย่อย

1. การประมาณค่าความคลาดเคลื่อน (Error Approximation)
2. การใช้เวกเตอร์เกรเดียนต์ (Gradient Vector) เพื่อหาทิศทางชันที่สุด

🔹 ค่าสูงสุด ต่ำสุด และจุดอานม้า (Maxima, Minima, Saddle Points)

1. การหาจุดวิกฤติ (Critical Points)
2. การใช้เฮสเซียนดีเทอร์มิแนนต์ในการจำแนกจุด
3. การหาค่าสุดขีดแบบมีเงื่อนไข (Lagrange Multipliers)

🔶 บทที่ 3 อินทิกรัลสองชั้น (Double Integrals)

🔸 ความหมายและการตีความ

$\displaystyle \iint_{R} f(x,y)\,dA$ ใช้สำหรับหาพื้นที่ ปริมาตร มวล และค่าเฉลี่ยเชิงพื้นที่

🔸 อินทิกรัลสองชั้นในพิกัดฉาก

1. การตั้งขอบเขตในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าและพื้นที่ทั่วไป
2. การหาปริมาตรใต้พื้นผิว

🔸 การสลับลำดับการอินทิกรัล

1. การเปลี่ยนลำดับการอินทิกรัลเพื่อให้คำนวณง่ายขึ้น

🔸 อินทิกรัลในพิกัดเชิงขั้ว (Polar Coordinates)

$\displaystyle \iint_{R} f(r,\theta)\,r\,dr\,d\theta$ การประยุกต์กับพื้นที่รูปวงกลมและรูปโค้ง

🔸 การประยุกต์ทางฟิสิกส์

1. การหามวล, จุดศูนย์กลางมวล, และโมเมนต์

🌍 บทที่ 4 พิกัดสามมิติและการอินทิกรัลสามชั้น (Triple Integrals & 3D Coordinates)

🔸 พิกัดในสามมิติ

1. การนิยามจุดในปริภูมิ $\displaystyle (x,y,z)$
2. สมการของระนาบ ทรงกลม และทรงกระบอก

🔸 อินทิกรัลสามชั้นในพิกัดฉาก

$\displaystyle \iiint_{V} f(x,y,z)\,dV$ ใช้คำนวณปริมาตรและมวลของของแข็ง

🔸 อินทิกรัลสามชั้นในพิกัดทรงกระบอกและทรงกลม

$\displaystyle dV = r\,dr\,d\theta\,dz$ (การเปลี่ยนพิกัดทรงกระบอก)

$\displaystyle dV = \rho^2 \sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta$ (การเปลี่ยนพิกัดทรงกลม)

1. การเปลี่ยนพิกัดและ Jacobian
2. การหาปริมาตรและค่าเฉลี่ยเชิงปริมาตร

🔸 การประยุกต์ในวิศวกรรม

1. การหาความหนาแน่นของวัตถุ
2. การคำนวณพลังงานในระบบสามมิติ

🔷 บทที่ 5 อนุกรมอนันต์ (Infinite Series)

🔸 ลำดับและอนุกรม (Sequences and Series)

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ ​แนวคิดของการลู่เข้าและลู่ออก

🔸 การทดสอบการลู่เข้า (Convergence Tests)

1. Ratio Test, Root Test, Integral Test, Comparison Test
2. อนุกรมบวกและอนุกรมสลับเครื่องหมาย

🔸 อนุกรมกำลัง (Power Series)

$\displaystyle f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n(x - a)^n$

1. การหาขอบเขตการลู่เข้า (Interval of Convergence)

🔸 อนุกรมเทย์เลอร์และแม็คลอริน (Taylor & Maclaurin Series)

$\displaystyle f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots$

1. การประมาณค่าฟังก์ชันด้วยพหุนาม
2. การประยุกต์ในงานวิศวกรรม เช่น การประมาณการเคลื่อนที่หรือแรง

🎯 เป้าหมายการเรียนรู้ (Learning Outcomes)

หลังจบรายวิชา ผู้เรียนจะสามารถ:

1. เข้าใจและแก้สมการอนุพันธ์อันดับสองได้
2. วิเคราะห์ฟังก์ชันหลายตัวแปรและหาค่าสูงสุด–ต่ำสุดได้
3. ประยุกต์อินทิกรัลสองชั้นและสามชั้นในพิกัดต่าง ๆ
4. เข้าใจแนวคิดของอนุกรมอนันต์และสามารถใช้อนุกรมเทย์เลอร์ในการประมาณฟังก์ชัน
5. ประยุกต์แนวคิดทางแคลคูลัสในปัญหาทางวิศวกรรม ฟิสิกส์ และคณิตศาสตร์ประยุกต์ได้อย่างมั่นใจ
6. 
   

แคลคูลัส 2, Calculus II CMU, รหัส 206112, แคลคูลัส มช., คอร์สออนไลน์แคลคูลัส, ฟังก์ชันหลายตัวแปร, อินทิกรัลสองชั้น, อินทิกรัลสามชั้น, อนุพันธ์ย่อย, อนุกรมอนันต์, Taylor Series, แคลคูลัสวิศวกรรม, calculus cmu, multiple integrals, calculus for engineers