แคลคูลัสสำหรับวิทยาศาสตร์สุขภาพ : 206101(กลางภาค+ปลายภาค)

แคลคูลัสสำหรับวิทยาศาสตร์สุขภาพ (206101)

วิชานี้ให้พื้นฐานแคลคูลัสที่จำเป็นต่อศาสตร์ด้านสุขภาพและการแพทย์ โดยครอบคลุมเรื่อง อนุพันธ์ของฟังก์ชันและการประยุกต์, อนุพันธ์ย่อย (partial derivatives), การหาปริพันธ์และการประยุกต์, และ สมการเชิงอนุพันธ์และการประยุกต์ เนื้อหาเน้นการนำหลักคณิตศาสตร์ไปใช้แก้ปัญหาเชิงปริมาณในสาขาเช่น เภสัชศาสตร์ (pharmacokinetics), ชีววิทยาเชิงปริมาณ, การแพร่/การแพร่กระจายของโรค, โมเดลการเติบโตของเซลล์ และการวิเคราะห์ข้อมูลเชิงอนุพันธ์

เนื้อหา

1) พื้นฐานและกฎอนุพันธ์

นิยามของอนุพันธ์ $\displaystyle \displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \displaystyle \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

กฎพื้นฐาน : ผลคูณ ผลหาร ฟังก์ชันประกอบ (รวมคำอธิบายเชิงกายภาพของอัตราการเปลี่ยน)

ตัวอย่าง : อัตราการเปลี่ยนของปริมาตรเลือด $\displaystyle V(t)$ หาก $\displaystyle V(t)=5t2+2$ จะได้ $\displaystyle \frac{dV}{dt} = 10t + 2$

2) อนุพันธ์ลูกโซ่ (Chain rule) และการใช้งาน

กฎลูกโซ่ หาก $\displaystyle y=g(u)$ และ $\displaystyle u=h(x)$ แล้ว $\displaystyle \displaystyle \frac{dy}{dx} = \displaystyle \frac{dy}{du} \cdot \displaystyle \frac{du}{dx}$

ตัวอย่างทางเภสัช : ถ้าความเข้มข้น $\displaystyle C$ ขึ้นกับปริมาณยา $\displaystyle D$ และ $\displaystyle D$ ขึ้นกับเวลาตามสมการ $\displaystyle D(t)=D_0 e^{-kt}$ การเปลี่ยนแปลงของ $\displaystyle C$ ต่อเวลาใช้ chain rule

3) การประยุกต์อนุพันธ์: อัตราการเปลี่ยนเชิงชีวภาพ

อัตราการไหล อัตราการสะสม การแพร่ของความเข้มข้น

ตัวอย่าง : แบบจำลองการสลายของยาแบบหนึ่งช่อง (one-compartment model)

$\displaystyle \frac{dC}{dt} = -k C$ แก้จะได้ $\displaystyle C(t)=C_0 e^{-kt}$ ค่า $\displaystyle k$ คืออัตราการสลาย (elimination rate constant) และ AUC (area under the curve) จาก $\displaystyle 0$ ถึง $\displaystyle \infty$ เท่ากับ $\displaystyle \mathrm{AUC}=\int_{0}^{\infty} C(t)\,dt = \int_{0}^{\infty} C_0 e^{-kt}\,dt = \displaystyle \frac{C_0}{k}​​.$

4) ฟังก์ชันหลายตัวแปร และอนุพันธ์ย่อย (Partial derivatives)

นิยาม: ถ้า $\displaystyle f(x,y)$ เป็นฟังก์ชันสองตัวแปร

$\displaystyle \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h},\quad \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = \lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}$

การประยุกต์: อัตราการเปลี่ยนของความดันโลหิตเมื่อเปลี่ยนปริมาณยาหรืออายุผู้ป่วย เป็นต้น

ตัวอย่าง : หาก $\displaystyle f(x,y)=\displaystyle \frac{x^2 y}{x+y}$ ​ (นิยามให้ $\displaystyle x,y>0$ ) จะได้

$\displaystyle \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = \displaystyle \frac{2xy(x+y) - x^2 y(1)}{(x+y)^2}$ ​(แสดงขั้นตอนการจัดรูปให้อ่านได้ในบทเรียน)

5) ปริพันธ์ไม่กำหนดค่าและกำหนดค่า

ปริพันธ์พื้นฐาน เช่น $\displaystyle \int x^n\,dx, x\int e^{ax}\,dx, \int \sin x\,dx$ เป็นต้น

ตัวอย่าง $\displaystyle AUC$ เก็บแบบจำลองทางเภสัชกรรม :

$\displaystyle \mathrm{AUC}_{t_1}^{t_2}=\int_{t_1}^{t_2} C(t)\,dt$

6) เทคนิคการอินทิเกรชัน (Integration techniques)

1. การทำ subsitution, integration by parts, เศษส่วนย่อย (partial fraction)
2. ตัวอย่างทางชีววิทยา : คำนวณปริมาตรสะสมของสารเมื่ออัตราป้อนเป็นฟังก์ชันของเวลา

7) ปริพันธ์ในหลายมิติ (Double integrals) — การประยุกต์เชิงพื้นที่

ปริพันธ์สองชั้น $\displaystyle \iint_D f(x,y)\,dA$ เพื่อคำนวณมวลหรือลักษณะการกระจายของสารในพื้นที่ตัดขวาง

ตัวอย่าง : ปริมาณสารที่กระจายในตัดขวางเนื้อเยื่อ

8) สมการเชิงอนุพันธ์ธรรมดา (ODEs) — เบื้องต้น

ODE ระดับหนึ่ง (linear, separable) : ตัวอย่าง separable

$\displaystyle \displaystyle \frac{dN}{dt} = r N \quad \Rightarrow \quad N(t)=N_0 e^{rt}dt$ (โมเดลการเจริญเติบโตของเชื้อหรือเซลล์)

Linear first-order : $\displaystyle \displaystyle \frac{dy}{dt} + p(t)y = q(t)dt$ และวิธี factor integrating

9) สมการเชิงอนุพันธ์เชิงประยุกต์ในสุขภาพ

1. โมเดลเภสัชจลนศาสตร์ (one- and two-compartment models)
2. โมเดลการแพร่ของโรคพื้นฐาน (SIR แบบง่าย ๆ สามารถเชื่อมกับ ODE ได้)
3. โมเดล pharmacodynamics: สมการเชิงอนุพันธ์เชิงความสัมพันธ์ยา-ผล (dose–response)

10) การใช้แคลคูลัสในการหา maximum/minimum (optimization) และ Lagrange multipliers

1. หาปริมาณยาที่ทำให้ผลดีสุดภายใต้ข้อจำกัด เช่น ปริมาณยาสูงสุดต่อวัน

บทสรุป : การแปลปัญหาจริงเป็นแบบจำลองและการตีความผล

1. ตั้งโจทย์จากกรณีศึกษา การเลือกสมการ การแก้ และการแปลผลเชิงสหสาขา

ตัวอย่าง 1 ยาที่สลายแบบลอการิทึม

ให้ $\displaystyle C(t)$ เป็นความเข้มข้นยาที่เวล $\displaystyle t$ สมมติ $\displaystyle \displaystyle \frac{dC}{dt}=-kC$ และ $\displaystyle C(0)=C_0$ หา $\displaystyle C(t)$ และ $\displaystyle \mathrm{AUC}$ จาก $\displaystyle 0$ ถึง $\displaystyle \infty$

เฉลย (สั้น) : แก้ ODE แบบ separable :

$\displaystyle \frac{dC}{C} = -k\,dt \quad \Rightarrow \quad \ln C = -kt + \ln C_0$ ​ ดังนั้น $\displaystyle C(t)=C_0 e^{-kt}e−kt$ และ

$\displaystyle \mathrm{AUC}=\int_{0}^{\infty} C_0 e^{-kt}\,dt = \displaystyle \frac{C_0}{k}$

ตัวอย่าง 2 : การหาอัตราการเพิ่มของฟังก์ชันสองตัวแปร

สมมติความเสี่ยง $\displaystyle R(x,y)=\displaystyle \frac{x^2 y}{x+y}​$ ที่ $\displaystyle x$ คือปริมาณสาร และ $\displaystyle y$ คืออายุผู้ป่วย หา $\displaystyle \displaystyle \frac{\partial R}{\partial x}$ ​ และอธิบายความหมายเชิงปฏิบัติ

เฉลย (สั้น) : ใช้กฎผลหาร:

$\displaystyle \displaystyle \frac{\partial R}{\partial x}=\displaystyle \frac{2xy(x+y) - x^2 y}{(x+y)^2}$

ความหมาย : บอกว่าถ้าเพิ่มปริมาณสารเล็กน้อย ในขณะที่อายุคงที่ ผลกระทบต่อความเสี่ยงเป็นเท่าไร

นี่คือตัวอย่างของการประยุกต์แคลคูลัสกับวิทยาศาสตร์สุขภาพ

มาเรียนรู้รายละเอียดเพิ่มเติมในคอร์สได้เลยครับ