คณิตศาสตร์วิศวกรรม 1 สจล.(กลางภาค+ปลายภาค)

📘 คอร์สออนไลน์คณิตศาสตร์วิศวกรรม 1 (สจล.)

Engineering Mathematics I — สถาบันเทคโนโลยีพระจอมเกล้าเจ้าคุณทหารลาดกระบัง (สจล.)

คอร์สพื้นฐานของนักศึกษาวิศวกรรมศาสตร์ทุกสาขา

ปูรากฐาน แคลคูลัสตัวแปรเดียว ตั้งแต่ลิมิต อนุพันธ์ ไปจนถึงปริพันธ์

เพื่อเชื่อมต่อสู่ฟิสิกส์ กลศาสตร์ ไฟฟ้า และคณิตศาสตร์วิศวกรรมขั้นสูง

คอร์สนี้ออกแบบให้เข้าใจที่มา ไม่ท่องสูตรมั่ว อ่านสมการแล้วเห็นความหมายเชิงวิศวกรรมจริง

🔹 เนื้อหาช่วงกลางภาค (Midterm)

Limits, Derivatives & Applications

ช่วงกลางภาคคือการสร้าง “ภาษาแห่งการเปลี่ยนแปลง”ซึ่งเป็นหัวใจของฟิสิกส์และระบบวิศวกรรม

1) ลิมิตและความต่อเนื่อง (Limits & Continuity)

ลิมิตของฟังก์ชัน

$\displaystyle \lim_{x\to a} f(x)$

ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน

$\displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=f(a)$

แนวคิดสำคัญ

1. พฤติกรรมของกราฟเมื่อ (x) เข้าใกล้ค่าใดค่าหนึ่ง
2. การวิเคราะห์ฟังก์ชันที่ต่อเนื่องและไม่ต่อเนื่อง
3. พื้นฐานของนิยามอนุพันธ์

2) อนุพันธ์ (Derivatives)

นิยามอนุพันธ์จากลิมิต

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

สูตรอนุพันธ์พื้นฐาน

เช่น $\displaystyle \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}$ $\displaystyle ,\frac{d}{dx}(e^x)=e^x$ $\displaystyle ,\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}$

$\displaystyle \frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x,$ $\displaystyle \frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x$

กฎลูกโซ่ (Chain Rule)

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$

อนุพันธ์อันดับสูง

$\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2},\quad \frac{d^3y}{dx^3}$

อนุพันธ์ฟังก์ชันโดยปริยาย (Implicit Differentiation)

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}$

3) การประยุกต์อนุพันธ์

ค่าสูงสุด–ต่ำสุด (Optimization)

จุดวิกฤต $\displaystyle f'(x)=0$

การพิจารณาด้วยอนุพันธ์อันดับสอง

$\displaystyle f''(x)>0 \Rightarrow \text{ต่ำสุด},\quad f''(x)<0 \Rightarrow \text{สูงสุด}$

อัตราสัมพัทธ์ (Related Rates)

$\displaystyle \frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}$

ใช้กับปัญหาการเคลื่อนที่ ของไหล และระบบที่เปลี่ยนตามเวลา

กฎของโลปิตาล (L’Hôpital’s Rule)

สำหรับลิมิตรูปแบบไม่กำหนด

$\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} =\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$

🔹 เนื้อหาช่วงปลายภาค (Final)

Integration & Engineering Applications

จาก “อัตราการเปลี่ยนแปลง”สู่ “การสะสมผล” ซึ่งเป็นหัวใจของพื้นที่ ปริมาตร และพลังงาน

1) อินทิเกรต (Integration)

ปริพันธ์ไม่จำกัดเขต

$\displaystyle \int f(x),dx$

ปริพันธ์จำกัดเขต

$\displaystyle \int_a^b f(x),dx$

เทคนิคการอินทิเกรต

การแทนตัวแปร (Substitution)

$\displaystyle \int f(g(x))g'(x)dx=\int f(u)du$

การแยกส่วน (By Parts)

$\displaystyle \int udv=uv-\int vdu$

Partial Fractions

$\displaystyle \int \frac{1}{(x-a)(x-b)}dx$

Trigonometric Substitution

ใช้กับรูปแบบ

$\displaystyle \sqrt{a^2-x^2},\quad \sqrt{x^2-a^2},\quad \sqrt{x^2+a^2}$

2) ปริพันธ์ไม่ตรงแบบ (Improper Integrals)

$\displaystyle \int_1^\infty \frac{1}{x^p}dx$

ใช้พิจารณาการลู่เข้า–ลู่ออกของอินทิกรัล

3) การประยุกต์อินทิเกรต

พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง

$\displaystyle A=\int_a^b [f(x)-g(x)]dx$

ปริมาตรการหมุน

วิธี Disk

$\displaystyle V=\pi\int_a^b [f(x)]^2 dx$

วิธี Washer

$\displaystyle V=\pi\int_a^b \big(R^2-r^2\big)dx$

วิธี Shell

$\displaystyle V=2\pi\int_a^b x f(x),dx$

ความยาวส่วนโค้ง

$\displaystyle L=\int_a^b \sqrt{1+(f'(x))^2},dx$

จุดเด่นของคอร์สนี้

1. อธิบายจากแนวคิด ไม่ใช่เริ่มจากสูตร
2. เชื่อมโยงกับฟิสิกส์และงานวิศวกรรมจริง
3. ฝึกวิเคราะห์โจทย์อย่างเป็นระบบ
4. เหมาะทั้งเรียนเสริมและติวก่อนสอบ

เหมาะกับใคร

1. นักศึกษาวิศวกรรมศาสตร์ สจล. ทุกสาขา
2. คนที่พื้นฐาน Calculus ยังไม่แน่น
3. คนที่อยาก “เข้าใจคณิตศาสตร์วิศวกรรม” มากกว่าท่องสูตร

📐 สรุปภาพรวม ⚙️

คณิตศาสตร์วิศวกรรม 1 คือรากฐานของความคิดแบบวิศวกร

ลิมิต → อนุพันธ์ → ปริพันธ์

ไม่ใช่บทแยก แต่คือโครงสร้างเดียวกันถ้าเข้าใจวิชานี้ กลศาสตร์ ไฟฟ้า และคณิตศาสตร์ขั้นสูงจะเชื่อมต่อกันทันทีครับ