คณิตศาสตร์วิศวกรรม 2 สจล.(กลางภาค+ปลายภาค)

📗 คอร์สออนไลน์คณิตศาสตร์วิศวกรรม 2

⚙️ Engineering Mathematics II — สถาบันเทคโนโลยีพระจอมเกล้าเจ้าคุณทหารลาดกระบัง (สจล.)

คอร์สที่พานักศึกษาก้าวจากโลกตัวแปรเดียวสู่โลกสามมิติของสนาม พื้นผิว ปริมาตร และการประมาณเชิงตัวเลข นี่คือภาษาหลักของกลศาสตร์ ของไหล อุณหพลศาสตร์ ไฟฟ้า และสนามฟิสิกส์

ถ้า Math 1 คือ “ภาษาแห่งการเปลี่ยนแปลง”Math 2 คือ “ภาษาแห่งปริภูมิและสนาม”

🔹 เนื้อหาช่วงกลางภาค (Midterm)

Series, Vectors & Vector-Valued Functions

ช่วงกลางภาคคือการสร้างเครื่องมือ 3 แกนหลักของวิศวกร

1. การประมาณค่าด้วยอนุกรม
2. เรขาคณิตในปริภูมิ
3. การเคลื่อนที่ของอนุภาค

1) อนุกรมอนันต์ (Infinite Series)

พื้นฐานของการประมาณค่าในงานวิศวกรรมและเป็นรากของการคำนวณเชิงตัวเลข

ลำดับ $\displaystyle {a_n}$

อนุกรม $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$

การทดสอบการลู่เข้า–ลู่ออก (Convergence Tests)

Ratio Test

$\displaystyle L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$

อนุกรมสลับ (Alternating Series)

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n a_n$

อนุกรมกำลัง (Power Series)

$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-c)^n$

ช่วงลู่เข้า (Radius of Convergence)

อนุกรมเทย์เลอร์ / แมคคลอริน

Taylor Series

$\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$

Maclaurin Series $\displaystyle (a=0)$

ใช้แทนฟังก์ชันซับซ้อนด้วยพหุนาม เช่น $\displaystyle e^x, \sin x, \cos x$

2) เวกเตอร์ใน 3 มิติ (Vectors in 3D)

ภาษาเรขาคณิตของกลศาสตร์และสนามฟิสิกส์

เวกเตอร์ในปริภูมิ

$\displaystyle \vec{v}=\langle v_x,v_y,v_z\rangle$

ขนาดเวกเตอร์

$\displaystyle |\vec{v}|=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}$

Dot Product

$\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$

ใช้หา

1. มุม
2. งาน (Work)
3. การฉายเวกเตอร์

Cross Product

$\displaystyle \vec{a}\times\vec{b}$

ใช้หา

1. เวกเตอร์ตั้งฉาก
2. โมเมนต์
3. แรงบิด

สมการเส้นตรงในปริภูมิ

$\displaystyle \vec{r}=\vec{r}_0+t\vec{v}$

สมการระนาบ

$\displaystyle Ax+By+Cz+D=0$

พื้นผิวในสามมิติ (Quadric Surfaces)

เช่น ทรงกระบอก, ทรงกรวย, ทรงรี, ไฮเพอร์โบลอยด์ เป็นพื้นฐานของเรขาคณิตวิศวกรรม

3) ฟังก์ชันค่าเวกเตอร์ (Vector-Valued Functions)

อธิบายการเคลื่อนที่ของอนุภาคในปริภูมิ

$\displaystyle \vec{r}(t)=\langle x(t),y(t),z(t)\rangle$

ความเร็ว

$\displaystyle \vec{v}(t)=\frac{d\vec{r}}{dt}$

ความเร่ง

$\displaystyle \vec{a}(t)=\frac{d\vec{v}}{dt}$

ใช้ตรง ๆ ในกลศาสตร์และฟิสิกส์การเคลื่อนที่

🔹 เนื้อหาช่วงปลายภาค (Final)

Multivariable Calculus & Multiple Integrals

"จากเรขาคณิตสามมิติสู่การวิเคราะห์สนาม พื้นที่ ปริมาตร และพลังงาน"

4) อนุพันธ์ย่อย (Partial Derivatives)

ฟังก์ชันหลายตัวแปร $\displaystyle z=f(x,y)$

อนุพันธ์ย่อย

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x},\quad \frac{\partial f}{\partial y}$

กฎลูกโซ่หลายตัวแปร

$\displaystyle \frac{dz}{dt}= \frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}$

เวกเตอร์เกรเดียนต์ (Gradient)

$\displaystyle \nabla f= \left\langle \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right\rangle$

ใช้หาทิศทางการเปลี่ยนแปลงสูงสุดของสนาม

การหาค่าสุดขีดด้วย Lagrange Multipliers

$\displaystyle \nabla f=\lambda \nabla g$

ใช้ในปัญหาออกแบบที่มีเงื่อนไขกำกับ

5) อินทิเกรตหลายชั้น (Multiple Integrals)

อินทิเกรตสองชั้น

$\displaystyle \iint_D f(x,y),dA$

อินทิเกรตสามชั้น

$\displaystyle \iiint_V f(x,y,z),dV$

ใช้คำนวณ

1. พื้นที่
2. ปริมาตร
3. มวล
4. พลังงานในปริภูมิ

การเปลี่ยนพิกัด

พิกัดเชิงขั้ว

$\displaystyle x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta$

พิกัดทรงกระบอก และทรงกลม

ใช้กับปัญหาที่มีสมมาตรเชิงเรขาคณิต

จุดเด่นของคอร์สนี้

1. เข้าใจคณิตศาสตร์สามมิติอย่างเป็นระบบ
2. อ่านพื้นผิวและสนามเป็น
3. วิเคราะห์ระบบหลายตัวแปรได้จริง
4. ต่อยอดตรงสู่กลศาสตร์ ของไหล และไฟฟ้า

เหมาะกับใคร

1. นักศึกษาวิศวกรรมศาสตร์ สจล. ทุกสาขา
2. คนที่เริ่มงงกับฟังก์ชันหลายตัวแปร
3. คนที่อยาก “คิดเป็นสามมิติแบบวิศวกร”

📐 สรุปภาพรวม

คณิตศาสตร์วิศวกรรม 2 คือจุดที่คณิตศาสตร์กลายเป็นภาษาเชิงปริภูมิของวิศวกร

ถ้าเข้าใจวิชานี้ สนาม แรง พลังงาน และระบบฟิสิกส์จะเชื่อมต่อกันเป็นภาพเดียวทันที