คณิตศาสตร์วิศวกรรม 3 สจล.(กลางภาค+ปลายภาค)

📙 คอร์สออนไลน์คณิตศาสตร์วิศวกรรม 3

⚙️ Engineering Mathematics III — Differential Equations, Laplace & Vector Calculus

คอร์สระดับแกนกลางของนักศึกษาวิศวกรรมศาสตร์เป็นภาษาของระบบ ฟิสิกส์ และสนามพลังงานเนื้อหาครอบคลุมตั้งแต่

สมการเชิงอนุพันธ์ → การแปลงลาปลาซ → เวกเตอร์แคลคูลัส

ซึ่งเป็นหัวใจของ

1. ระบบควบคุม
2. วงจรไฟฟ้ากำลัง
3. การสั่นสะเทือน
4. ของไหลและสนามแม่เหล็กไฟฟ้า

ถ้า Math 1 คือ “ภาษาแห่งการเปลี่ยนแปลง” Math 2 คือ “ภาษาแห่งปริภูมิ” Math 3 คือ “ภาษาแห่งระบบและฟิสิกส์จริง”

🔹 เนื้อหาช่วงกลางภาค (Midterm)

Differential Equations & Laplace Transform

ช่วงกลางภาคคือการสร้างเครื่องมืออธิบาย “ระบบที่เปลี่ยนแปลงตามเวลา”ตั้งแต่ระบบกล วงจรไฟฟ้า ไปจนถึงระบบควบคุม

1) สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง

First–Order Differential Equations

สมการอนุพันธ์อันดับหนึ่งเป็นแบบจำลองของระบบพื้นฐานจำนวนมาก เช่น การเติบโต การสลาย การไหล และสมดุลพลังงาน

รูปแบบทั่วไป

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=f(x,y)$

สมการแยกตัวแปรได้ (Separable Equation)

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=g(x)h(y)$

แยกตัวแปรให้อยู่คนละข้างแล้วอินทิเกรต

สมการเชิงเส้น (Linear Equation)

$\displaystyle \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$

ใช้กับระบบถ่ายเท ระบบไฟฟ้า และสมดุลพลังงาน

สมการแม่นตรง (Exact Equation)

$\displaystyle M(x,y),dx+N(x,y),dy=0$

เชื่อมโยงกับแนวคิดพลังงานศักย์ในฟิสิกส์

2) สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสูง

Higher–Order Differential Equations

สมการของระบบที่มีความเฉื่อยและการสั่น

รูปแบบมาตรฐาน

$\displaystyle a\frac{d^2y}{dx^2}+b\frac{dy}{dx}+cy=0$

สมการเชิงเส้นสัมประสิทธิ์คงที่

สมการลักษณะเฉพาะ $\displaystyle ar^2+br+c=0$

คำตอบทั่วไป $\displaystyle y=y_c+y_p$

ใช้กับระบบมวล–สปริง–แดมเปอร์ และวงจร RLC

วิธีเทียบสัมประสิทธิ์

ใช้หาผลเฉลยเฉพาะของสมการไม่เอกพันธ์

การแปรผันพารามิเตอร์ (Variation of Parameters)

ใช้กับระบบที่มีแรงภายนอกซับซ้อน

3) การแปลงลาปลาซ (Laplace Transform)

เครื่องมือทรงพลังในการแปลงสมการอนุพันธ์ให้กลายเป็นสมการพีชคณิต

นิยาม

$\displaystyle \mathcal{L}{f(t)}=F(s)=\int_0^\infty e^{-st}f(t),dt$

อินเวอร์สลาปลาซ

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1}{F(s)}=f(t)$

การแก้ปัญหาค่าตั้งต้น (Initial Value Problems) แปลงสมการอนุพันธ์ในโดเมนเวลาไปแก้ในโดเมน (s) แล้วแปลงกลับเป็นหัวใจของระบบควบคุมและไฟฟ้ากำลัง

🔹 เนื้อหาช่วงปลายภาค (Final)

Series Solutions & Vector Calculus

ช่วงปลายภาคคือการเข้าสู่โลกของสนาม แรง และฟิสิกส์เชิงพื้นที่

4) ผลเฉลยอนุกรม (Series Solutions)

ใช้แก้สมการเชิงอนุพันธ์ที่ไม่สามารถแก้ด้วยวิธีปกติได้ สมมติคำตอบในรูปอนุกรมกำลัง

$\displaystyle y=\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n$

ใช้กับสมการรอบจุดสามัญ (Ordinary Point) เป็นรากฐานของฟิสิกส์เชิงทฤษฎีและกลศาสตร์ขั้นสูง

5) เวกเตอร์แคลคูลัส (Vector Calculus)

ภาษาเชิงสนามของฟิสิกส์และพลังงาน

สนามเวกเตอร์ $\displaystyle \vec{F}(x,y,z)$

Gradient $\displaystyle \nabla f$ แสดงทิศทางการเปลี่ยนแปลงสูงสุดของสนาม

Divergence $\displaystyle \nabla\cdot\vec{F}$ วัดแหล่งกำเนิดหรือการไหลออกของสนาม

Curl $\displaystyle \nabla\times\vec{F}$ วัดการหมุนของสนาม

6) ปริพันธ์ตามเส้นและพื้นผิว

Line Integral

$\displaystyle \int_C \vec{F}\cdot d\vec{r}$ ใช้คำนวณงานและการไหลตามเส้นทาง

Surface Integral

$\displaystyle \iint_S \vec{F}\cdot d\vec{S}$ ใช้คำนวณฟลักซ์ของสนาม

7) ทฤษฎีบทหลักของเวกเตอร์แคลคูลัส

Green’s Theorem > เชื่อมอินทิกรัลตามเส้น ↔ อินทิกรัลพื้นที่

Stokes’ Theorem > เชื่อม Curl บนพื้นผิว ↔ Line Integral รอบขอบเขต

Divergence Theorem (Gauss) > เชื่อม Divergence ในปริมาตร ↔ Flux ผ่านผิวปิด

📗จุดเด่นของคอร์สนี้

1. เข้าใจสมการอนุพันธ์แบบเห็น “ระบบจริง”
2. ใช้ลาปลาซวิเคราะห์ระบบควบคุมได้
3. อ่านสนามเวกเตอร์เป็น
4. เชื่อมคณิตศาสตร์กับฟิสิกส์โดยตรง

📙เหมาะกับใคร

1. นักศึกษาวิศวกรรมศาสตร์ทุกสาขา
2. ผู้ที่เรียนระบบควบคุม กลศาสตร์ ไฟฟ้า
3. คนที่อยาก “คิดแบบวิศวกรเชิงระบบ”

📘สรุปภาพรวม

คณิตศาสตร์วิศวกรรม 3 คือจุดที่คณิตศาสตร์ กลายเป็นภาษาของระบบ ฟิสิกส์ และพลังงาน

ถ้าเข้าใจวิชานี้คุณจะอ่านสมการแล้วเห็น “โลกจริง” ได้ทันที